あるSNSのメンバーがコミュニティに参加し続けるには、何らかの利得がなければならない。参加し続けるためには自らが情報発信したり友人のページを閲覧たりするための「時間」や「手間」といった損失がある。これを c としよう。他方、直接の友人からの情報、すなわち利益を b×Ni とモデル化しよう。ここで bは情報当たりの価値、Ni はi番目のメンバーのSNS内での直接の友人の数である。以上から、利得は b×Ni - c となり、もしこれがマイナスならそのメンバーがコミュニティに参加し続ける意味はない…というのが、前回の最後の話。
さて、コア度がksiのi番目のメンバーの直接の友人数、ネットワークモデルでは腕の数、は幾つだろうか？答えはksi以上である。つまり；
Ni ≧ ksi …(1)式
極端な例を挙げてみよう。とあるメンバーに相当する節点を中心として、放射状に1000本の腕が伸び、当然その腕の先には別のメンバーに相当する節点がある「だけ」のネットワークを考えよう。このネットワークに「腕を１本しか持たない節点を削除する操作」を繰り返すと、最終的に節点は無くなる。つまり、ここで考えた放射状のネットワークはk=1におけるk-コアに過ぎない。中心の接点は1000本の腕を持つにも関わらず、その節点のコア度は他の1000個の接点のコア度と同じ１しかないのだ。
何度も繰り返すが、コミュニティネットワーク内の安定している部分ネットワークの各メンバーの利得はプラスのはずだ。つまり
b×Ni- c > 0 …(2)式
上式を変形すると次式が得られる。
Ni> (c/b) …(3)式
(1)式と(3)式を見比べれば、次式の関係は明らかだ。
Ni≧ ksi > (c/b) …(4)式
ここで、i番目のメンバーのコア度ksiは自然数（1以上の整数）でなければならないが、上式中の(c/b)は正の実数であれば良い。従って(4)式の関係から、利得がプラス（つまり(2)式の関係を満たす）という条件では、次式の関係が成立するはずだ。
ksi ≧ (c/b)+1 …(5)式
あらためて上式の右辺を K と定義する。つまり
K = (c/b)+1 …(6)式
ksi ≧ K …(7)式
最後に「弾力性」（resilience）という概念を導入しよう。これはざっくり言うと「メンバーが離脱した際にコミュニティが受けるダメージへの耐性」であり、別の言い方をすると「メンバー１人ぐらい抜けてもコア度などのコミュニティの特性が変わらない」ネットワーク構造を持つ方が「弾力性が高い」だろうということだ。
もう少し具体的に状況をイメージしてみよう。まずメンバーの数が時間的に変化していないコミュニティがあるとする。これは構成メンバーが変わらないという意味ではなくて、参加する人と離脱する人の数が一致している理想的な状態が維持され続けていると考えよう。参加したばかりの人はまだ直接の友達が少なくて利得がまだマイナスかもしれない。離脱する人は利得がマイナスになったか、参加はしたものの利得がついにプラスに出来ずに脱落していったのかもしれない。逆に、離脱しない人の利得はおそらくプラスであるはずだ。つまり、ここで考えているコミュニティでは、全てのメンバーの利得がプラスという訳ではない。
このようなコミュニティを考えたとき、「弾力性」の高いコミュニティの備えるべき第一の特徴は「利得がプラスとなっているメンバーの割合が高いこと」と言える。そもそもコミュニティの崩壊とは、メンバーの離脱が他のメンバーの利得低下を引き起こして新たなるメンバー離脱を引き起こすという負の連鎖の結果、コミュニティ規模が短時間で縮小する現象を具体的には指している。利得がプラスのメンバーの割合が高いということは、離脱の可能性が高い利得がマイナスのメンバーの割合が少ないということであり、コミュニティ崩壊の引き金となり得る「大量メンバーの一斉離脱」が発生しにくいと言って良いだろう。
次いで、仮に「大量メンバーの一斉離脱」が発生した場合に、真っ先に利得がマイナスに転じる可能性が高いメンバーの特徴とはどのようなものだろうか。これについては結果の先取りで多少恣意的ではあるが、「これまで小さい損失で相対的に大きな利益を得てきた（(c/b)が小さかった）」という点が挙げられよう。
そもそも損失cが大きくないので、このようなメンバーの利益bもコミュニティ全体内では相対的に小さいはずだ。小さいが損失に対しては見合う利益が得られているということは、その利益はコミュニティネットワークの一部かつ局所的にコア度の高いネットワークから得られているとほぼ考えて良い。従って「大量メンバーの一斉離脱」がそのメンバーを含む局所的にコア度の高いネットワーク内で発生した場合、そのメンバーは瞬時に大部分の利益を失ってしまうことになる。逆に、「大量メンバーの一斉離脱」がそのメンバーの属さない局所的にコア度の高いネットワークでのみ発生した場合、そのメンバーの利益は少なくとも短期的には影響を受けない。つまり、「これまで小さい損失で相対的に大きな利益を得てきた」メンバーは、「大量メンバーの一斉離脱」に対して利益が一気に失われるか、全く影響を受けないかの何れかとなる。
利益を一気に失ったメンバーはどう振る舞うだろうか？
新しい局所的にコア度の高いネットワークへの参加は、余程の幸運に恵まれたとしても、それまでの「何倍もの大きさ」の損失を必要とするだろう。そもそも、そのメンバーの望む利益が得られる局所的に密なネットワークがあるのだろうか？あってもそれは何処なのか？そんな状況で、そのメンバーは損失（労力）の大規模な増大を受け入れるだろうか？おそらく答えは否で、そのメンバーもコミュニティから離脱するだろう。他方、損失が大きくとも（労力をかけても）それに見合う利益を得られてきたメンバー（cもbも大きい）は、一時的に多少の利益の減少があってもメンバーであり続けようとするだろう。さらに、それまでと同等の利益を得るためだと割り切れば損失の多少の増大には目をつぶるだろう。それまで彼らは大きい損失を許容してきたのだ、数パーセントの損失増加は許容してしまうだろう。
上記ように、「弾力性」の高いコミュニティの備えるべき第二の特徴は「大量メンバーの一斉離脱が発生した後でも、残ったメンバーのc/bまたはK（(6)式）が大きいこと」と言える。
ここに至ってやっと道具立てが終わった。では、実際のOSN（Online Social Network）のデータを実際に分析しよう。論文で分析対象としたOSNの一覧が下表だ。
名前（name）はOSNの名称である。状態（status）は「成功」（successful）、「衰退傾向」（in decline）、「失敗（失敗した）」（failed）の三つに分類されている。メンバー数（users）およびリンク数（links）中の「K」は1,000(キロ)、「M」は1,000,000（メガ、またはミリオン）をそれぞれ表している。注目すべきはFriendsterで、117MというFacebookの40倍近いメンバー数を一時的とは言え抱えながら、現在はサービスが終了している失敗したOSNなのだ。
さて、失敗したOSNのネットワークは、本当に「弾力性」の低い、脆弱なものだったのだろうか？衝撃の次回をお楽しみに。
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